图论（Graph Theory）是一门数学领域，研究图（Graph）以及与图相关的结构和性质。图是由节点（顶点）和边组成的集合，节点表示实体，边表示这些实体之间的关系。图论的研究范围涵盖了许多不同类型的图和与图相关的问题。

图论就像在抖音社交网络中的社交关系一样有趣！图中人物是点，他们之间的关系就是抖音的关注关系。我们一起用这个例子来学习和理解一些新的概念。学习了图论我们可以了解更多抖音关注关系的奥秘。用图论的思想，我们可以发现朋友之间的连接，预测热门视频、预测某个用户感兴趣的人或者视频。

图的基本概念

节点（Node）和边（Edge）： 在抖音的社交网络中，我们将节点视为用户，这些节点也被称作顶点（Vertex），是社交网络的基本元素，通常用圆圈或点表示。边则代表用户之间的关系，如同抖音社交网络中用户与用户之间的直接关注关系。每个用户即为一个节点，而关注关系则通过边来连接。

权重（Weight）： 在抖音的社交网络中，权重可表示用户之间的互动频率或亲密程度。例如，如果用户A对用户B的视频进行了频繁的互动，这可通过图中的边赋予一个较大的权重，反映了这两个用户之间的强烈关系。

有序对和有向图（Directed Graphs）： 图中的一条边 E 或者两个节点 u、v 之间的连接由唯一的有序对 (u, v) 表示。这被称为有序对，因为在有向图的情况下，(u, v) 与 (v, u) 是两个不同的关系。在抖音社交网络中，这可理解为用户A关注了用户B和用户B关注了用户A是两个独立的关系表示，因为关注关系具有方向性。

无向图（Un-directed Graphs）：无向图就像是我们日常生活中的朋友圈。想象你和你的朋友们，关系是相互的，没有明确的方向。你们之间的友谊就像无向图中的连接，没有谁是主动方，大家都是平等的。比如，如果你和朋友A是朋友，那朋友A也同样是你的朋友，就像无向图中的边没有箭头一样。

这就是一个简单的无向图和有向图：

图的高级概念

相邻节点（Adjacent node）： 如果你和朋友A直接有关注关系，那么朋友A就是你的相邻节点。相邻节点就像是你在抖音中直接连接的朋友，彼此之间有了直接的关系。

度（Degree）： 在无向图中，你的度表示有多少个直接关联的朋友。如果你关注了朋友A、B、C，那你的度就是3，因为你和三个朋友有直接关系。在有向图中，你的出度（Outdegree）表示你的关注人数，入度（Indegree）表示你的粉丝数。是不是很有意思，我们学习到了粉丝和关注的在图领域的另一种叫法。

路径（Path）： 想象你在抖音中通过关注关系从朋友A找到了朋友C。这个从A到C的过程就是一条路径。这条路径上的节点就是你在寻找朋友的过程中经过的人。比如，从你（节点 u）到朋友C（节点 v）的路径可能是你关注了A，A关注了B，B关注了C。整个路径包含了你、A、B、C四个节点，其中经过了三条边。所以，你可以这么说节点 'u' 到节点 'v' 的长度为 'n' 的路径被定义为包含 n+1 个节点的序列。

P(u,v)=(v0,v1,v2,v3…….vn)

上面这个表达式表示从节点 u 到节点 v 的路径 P，被定义为一个节点序列 (v?, v?, v?, ..., v?)，其中 v? 是起始节点 u，v? 是目标节点 v。这个序列中的每个节点都通过边连接，即 (v?, v?)、(v?, v?)、...、(v???, v?) 是路径上相邻的节点对。简单来说，P(u,v) 描述了一条从节点 u 到节点 v 的路径，其中节点按顺序连接在一起。

在抖音关系网中，如果你通过关注关系从自己出发到达某个朋友，这个路径是简单的。每个节点都是唯一的，除非路径的起点和终点相同，否则路径中不会有重复的节点。

但是在抖音关系网中，存在某些用户没有关注任何人，也没有被其他人关注，那么这个用户就是一个孤立节点（Isolated-Node）。这个用户的度（Degree）为0，因为没有直接的关联。通过宽度优先搜索（BFS-Breadth first search），我们可以找到所有的孤立节点。在抖音中，BFS可以用于检查是否有用户没有建立任何关系，也就是没有关注他人，也没有被他人关注。

在广度优先搜索（BFS）中，可以通过检查整个图是否被遍历来找到孤立节点。如果在BFS过程中有节点未被访问到，那么这些未访问到的节点就是孤立节点。

高级图概念的应用

假设抖音关系网中有用户 A、B、C、D、E，他们之间的关系如下：

A 关注了 B 和 C。
B 关注了 A 和 D。
C 关注了 D。
D 被用户 B 关注。

环（Cycle）： 如果用户 A 关注了用户 B，用户 B 关注了用户 D，用户 D 又关注了用户 A，那么我们就形成了一个闭合路径 A -> B -> D -> A，这构成了一个环。

连通性（Connectivity）： 在这个关系网中，任意两个用户之间都存在至少一条关注关系的路径。例如，用户 A 和用户 C 之间存在路径 A -> C。

子图（Subgraph）： 如果我们只考虑用户 A、B 和 C，以及他们之间的关注关系，那么这构成了一个子图。这个子图是原始抖音关系网的一部分，包括一些用户和他们之间的关系。

树（Tree）： 如果我们考虑整个抖音关系网，去掉用户 B 关注用户 A 的边、C 关注 B 的边、C 关注 D 的边，那么整个网络就变成了一棵树。这是因为去掉的边是环的一部分，去除后形成了无环图，如下图：

下图中我们增加了用户节点E，因为 E 它没有关注别人，也没有被其他人关注，也没有被其他人关注。，所以 E 是一个孤立节点。

1、有向图（Directed Graphs）：没有环路的有向图。对于DAG中的一个顶点 'v'，不存在以 'v' 为起点和终点的有向边。就像在抖音上分享视频一样，有向图是一种图，其中边的方向就像视频的播放方向一样，被定义为指向特定节点的图。

• 有向无环图（DAG-Directed Acyclic Graph）：DAG就像一个抖音账号，是没有循环的有向图。对于DAG中的一个主播 'v'，不存在以 'v' 的视频为起点和终点的有向边。这可以应用在关键游戏分析、表达树评估和游戏评估上，就像我们在抖音上喜欢关注和评估不同的视频。
• 树（Tree）：树只是图的一种受限形式。简单来说，它是一个有向无环图，限制了每个子节点只能有一个父节点。树就像抖音上的一个简短的视频系列，是图的一种受限形式。简单来说，树是一个有向无环图，限制了每个视频（子节点）只能有一个发布者（父节点）。

2、无向图（Un-directed Graphs）：在无向图中，边的方向未定义。因此，如果存在节点 'u' 和 'v' 之间的边，则存在从节点 'u' 到 'v' 以及从 'v' 到 'u' 的路径。就像在抖音上互相关注一样，边的方向未定义。如果我们有用户 'u' 和用户 'v' 之间的关注关系（边），那么用户 'u' 关注用户 'v' 的同时，用户 'v' 也会关注用户 'u'。

• 连通图（Connected graph）：当每一对顶点之间都存在路径时，图是连通的。在连通图中，没有不可达的节点。抖音上的用户关系就是一个连通图，因为任意两个用户之间都可以通过关注关系找到一条路径。在连通图中，没有孤立的用户，每个人都能通过关注关系连接起来。
• 完全图（Complete graph）：每一对图顶点都通过一条边相连的图。简而言之，图中的每个节点 'u' 都与图 'G' 中的每个其他节点 'v' 都相邻。完全图将有 n(n-1)/2 条边。如果每个用户都关注其他每个用户，就像所有人都关注所有人一样，那么这形成了一个完全图。具体来说，如果抖音上有 n 个用户，那么就会有 n(n-1)/2 条关注关系。
• 双连通图（Biconnected graph:）：一个无法通过删除任何顶点进一步拆分的连通图。它是一个没有关节点的图。一个无法通过删除任何用户（顶点）而使得抖音社交网络进一步拆分的连通图。这是一个没有被孤立的用户的图，就像抖音上没有被忽略的内容创作者。

完全图求边公式的理解：

想象一下你有一个社交网络，里面有n个用户，每个用户都与其他每个用户相连接。每个用户都是这个网络的一部分。 现在，每个用户都与其他n-1个用户有关系（边），因为他们与社交网络中的每个人都有联系。如果我们把这些关系都算一遍，你会发现每条边都被计数两次。这是因为，比如，用户A与用户B有联系，这也意味着用户B与用户A有联系。

因为我们不想把每条边都计算两次，所以需要把总数除以2。这是因为每对用户之间的关系都被计算了两次，所以我们需要除以2来消除这种重复计数。

最终，我们得到的公式是n * (n-1) / 2，这表示完整图中的边的数量。这个公式可以帮助我们计算在一个社交网络中，如果每个用户都与其他每个用户相连，那么总共有多少关系存在。

结语

通过图论，我们可以更深入地理解抖音社交网络中用户之间的关系。图的概念如节点、边、路径等，以及高级概念如环、连通性等，为我们提供了分析和理解复杂网络结构的工具。在图计算中，使用工具如GraphScope能够更高效地处理大规模图数据，进行各种有趣的分析和预测。通过这个系列，我们将轻松入门图计算，探索图论的奥秘。