圆的内接四边形面积公式-婆罗摩笈多公式

如果圆的内接四边形ABCD四条边长分别为a、b、c、d，那么它的面积是多呢？印度数学家婆罗摩笈多提出了类似三角形海伦公式的面积计算公式：

S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)，其中

s=(a+b+c+d)。

证明：根据余弦定理有：

m^2=a^2+b^2-2abcosB=c^2+d^2-2cdcosD，∠B与∠D互补，所以cosB=-cosD，sinB=sinD。代入上式得：

m^2=a^2+b^2-2abcosB；m^2=c^2+d^2+2cdcosB。

两式相减消去m得：

2abcosB+2cdcosB=a^2+b^2-c^2-d^2。

S=absinB/2+cdsinB/2=(ab+cd)sinB/2

=√(ab+cd)^2sin^2B/4

=√(ab+cd)^2(1-cos^2B)/4

=√(ab+cd)^2(1+cosB)(1-cosB)/4

=√(ab+cd)(1+cosB)(ab+cd)(1-cosB)/4

=√(ab+cd+abcosB+cdcosB)(ab+cd-abcosB-cdcosB)/4

=√(2ab+2cd+2abcosB+2cdcosB)(2ab+2cd-2abcosB-2cdcosB)/4^2

=√(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)/4^2

=√((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2)/4^2

=√(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)/4^2。

a+b+c-d=a+b+c+d-2d=2s-2d,同理a+b-c+d=2s-2c,c+d+a-b=2s-2b,c+d-a+b=2s-2a。上式得：

S=√(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)/4^2

=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)。

如果四边形为一般凸四边形，则公式为

S=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos^2(B/2+D/2)，证明过程类似。当四边形为圆内接四边形时，B+D=180°，B/2+D/2=90°，abcdcos^2(B/2+D/2)项结果为0，公式即为婆罗摩笈多公式。